Question

（2012年高考（四川理））已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距.

(Ⅰ)用和表示;

(Ⅱ)求對(duì)所有都有成立的的最小值;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),比較與的大小,并說(shuō)明理由.

Answer 1

【解析】(1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,對(duì)則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為

(2)由(1)知f(n)=,則

即知,對(duì)于所有的n成立,特別地,取n=2時(shí),得到a≥

當(dāng),

 

 

 

>2n3+1

當(dāng)n=0,1,2時(shí),顯然

故當(dāng)a=時(shí),對(duì)所有自然數(shù)都成立

所以滿(mǎn)足條件的a的最小值是.

(3)由(1)知,則,

下面證明:

首先證明:當(dāng)0<x<1時(shí),

設(shè)函數(shù)

 

當(dāng)

故g(x)在區(qū)間(0,1)上的最小值g(x)min=g

所以,當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)≥0,即得

由0<a<1知0<ak<1(),因此,從而

 

 

【點(diǎn)評(píng)】本小題屬于高檔題,難度較大,需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí);考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法.