Question

以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  10 - 2

  3

• B、

  5 -1

  3

• C、

  5 -1

  2

• D、

  10 - 2

  2

Answer 1

分析：設(shè)正方形邊長為2，設(shè)正方形中心為原點，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則可知c，的a和b的關(guān)系式，進(jìn)而求得BC的中點坐標(biāo)代入橢圓方程，得到a和b的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a，則橢圓的離心率可得．

解答：解：設(shè)正方形邊長為2，設(shè)正方形中心為原點
則橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

 =1
且c=

2

∴a²-b²=c²=2①
正方形BC邊的中點坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）
代入方程得到

1

2a2

+

1

2b2

=1②
聯(lián)立①②解得a=

1+ 5

2

∴e=

c

a

=

10 - 2

2

．
故選D．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．要求學(xué)生熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b和c及離心率e的關(guān)系．