Question

（2012•黃州區(qū)模擬）設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數(shù)z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）的最大值為9，則d=

4a+b

的最小值為

4

3

．

Answer 1

分析：先畫出可行域，數(shù)形結(jié)合求出目標函數(shù)的最大值，得到a，b的關(guān)系，兩式相乘湊成利用基本不等式的條件，利用基本不等式求最值．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當直線z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）過直線2x-y+2=0與直線8x-y-4=0的交點（1，4）時，
目標函數(shù)z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）取得最大值9，
∴

1

a

+

4

b

=9，
又4a+b=（4a+b）×

1

9

×（

1

a

+

4

b

）=

1

9

（8+

b

a

+

16a

b

）≥

1

9

（8+8）=

16

9

，
則d=

4a+b

的最小值為

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標函數(shù)的最值．