Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，∠A的平分線AD=2，則△ABC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過(guò)B作BE于AC平行，可得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，又AD為角平分線，可得一對(duì)角相等，等量代換可得∠E=∠BAD，從而得到三角形ABE為等腰三角形，由AB=4，可得BE=4，過(guò)B作BH垂直于AE，由三線合一得到H為AE中點(diǎn)，由AC與BE平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得到三角形ACD與三角形BED相似，由對(duì)應(yīng)邊AC與BE的比值得到相似比，從而由AD可求出DE的值，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)，再由DB與DC之比等于相似比，三角形ABD與三角形ACD高為同一條高，故兩三角形面積之比等于BD比CD，可得出三角形ABD面積與三角形ABC面積間的關(guān)系，利用AD及AD邊上的高BH，根據(jù)三角形的面積公式求出三角形ABD的面積，即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過(guò)B作BE∥AC，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∴∠E=∠CAD，
∵AD為角平分線，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，即△ABE為等腰三角形，
∴AB=BE=4，
作BH⊥AE，垂足為點(diǎn)E，
∴H為AE中點(diǎn)，即AH=EH=AE，
又BE∥AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
∴△ACD∽△EBD，又AC=3，BE=4，AD=2，
∴===，
∴ED=，AE=AD+DE=2+=，
∴AH=AE=，
在Rt△ABH中，利用勾股定理得：BH==，
∴S_△ABD=AD•BH=，
又CD：BD=3：4，
∴S_△ACD：S_△ABD=3：4，且S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD，
則S_△ABC=S_△ABD=．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積的求法，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．