Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn=2a_n-1 （n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂ a_n，求數(shù)列（-1）ⁿb_n²前2n項(xiàng)的和T．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，得到數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列（-1）ⁿb_n²前2n項(xiàng)的和T

解答 解：（Ⅰ）∵s_n=2a_n-1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，也成立，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，
∴于是數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，
∴（-1）ⁿb_n²=（-1）ⁿ（n-1）²，
∴T=-b₁²+b₂²-b₃²+b₄²+…-b_2n-1²+b_2n²=b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n=$\frac{2n•（2n-1）}{2}$=n（2n-1）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題