Question

如圖，已知F（c，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)；⊙F：（x-c）²+y²=a²與x軸交于D，E兩點(diǎn)，其中E是橢圓C的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系；
（3）設(shè)直線BF與⊙F交于另一點(diǎn)G，若△BGD的面積為4

3

，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）將橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓F的方程，算出a=2c，即可得出橢圓C的離心率；
（2）根據(jù)橢圓基本量的平方關(guān)系算出圓F與y軸正半軸的交點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，進(jìn)而得到B(0，

3

c)．再求出D點(diǎn)與A點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的斜率公式算出直線AB、BF的斜率，證出直線AB與半徑BF相垂直，可得AB與⊙F相切；
（3）利用三角形中線的性質(zhì)與三角形面積公式，得到△BGD的面積關(guān)于c的表達(dá)式，解出c²=2，從而得出a²、b²的值，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵圓F：（x-c）²+y²=a²過橢圓C的左焦點(diǎn)，
∴將（-c，0）代入圓F的方程，得4c²=a²，可得a=2c．
因此，橢圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0，得y²=a²-c²=b²，
∴⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B（0，b），可知點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，
又∵a=2c，∴b=

a2-c2

=

3

c，故B(0，

3

c)，
在圓F的方程中令y=0，可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3c，0），
∴D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是A（-3c，0），
由此可得直線AB的斜率kAB=

3 c

3c

=

3

3

，
而直線FB的斜率kFB=

3 c

-c

=-

3

，
∵k_AB•k_FB=-1，直線AB與半徑BF相垂直，
∴直線AB與⊙F相切．
（3）∵DF是△BDG的中線，
∴S_△BDG=2S_△BFD=|FD|•|OB|=2c•

3

c=4

3

，
解之得c²=2，從而得出a²=4c²=8，b²=3c²=6，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查了三角形的中線的性質(zhì)與三角形面積的求法，屬于中檔題．