Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=1，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥BD₁；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-BEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線平面垂直的性質(zhì)，判定轉(zhuǎn)化證明線線垂直．（Ⅱ）根據(jù)體積公式V B1-BEF=

1

3

×S_△BEF×BB₁，先求解面積，高線問題．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC、BD，AC與BD交于點(diǎn)O．
∵DD₁⊥AD，DD₁⊥AC，AD∩DC=D
∴DD₁⊥平面ABCD．
∴DD₁⊥AC，
又四邊形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁
∵點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)
∴EF∥AC，
∴EF⊥BD₁，
（Ⅱ）解：∵AB=1．BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱錐B₁-BEF的高，
∵AB⊥BC，E，F(xiàn)，分別是AB，CD的中點(diǎn)．
∴S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

8

，
∴V B1-BEF=

1

3

×S_△BEF×BB₁=

1

24

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線平面的位置關(guān)系，運(yùn)用定理判斷位置關(guān)系，求解大小，屬于難題．