Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），定義b_n=a_n•lga_n，如果b_n是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由數(shù)列{a_n}，a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），我們易得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而給出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合b_n是遞增數(shù)列，我們對(duì)a的分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，即可求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：∵a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），
則，
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ
b_n=a_n•lga_n=naⁿlga，
∵b_n是遞增數(shù)列，
∴對(duì)任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．
即（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga，對(duì)n∈N^*恒成立．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，lga＞0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＞n，
則
∵，
∴恒成立．
∴a＞1

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lga＜0，
∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga?（n+1）a＜n，
則
∵當(dāng)n∈N^*時(shí)，，
∴
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍：
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的函數(shù)特征，由遞推公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而給出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是解答的基礎(chǔ)，利根據(jù)b_n是遞增數(shù)列，類(lèi)比函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．