Question

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）欲證DF∥平面ABC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證DF與平面ABC內(nèi)一直線平行，而DF∥CG，CG?平面ABC，DF?平面ABC，滿足定理?xiàng)l件；
（2）欲證AF⊥BD，可先證AF⊥平面BDF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面BDF內(nèi)兩相交直線垂直，而AF⊥BE，DF⊥AF，滿足定理?xiàng)l件．

解答：證明：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，可得FG∥AE，F(xiàn)G=

1

2

AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=

1

2

AE，
∴FG∥CD，F(xiàn)G=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F為BE中點(diǎn)，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及通過線面垂直推線線垂直，屬于基礎(chǔ)題．