Question

如圖所示，在多面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，上、下兩個(gè)底面A₁B₁C₁D₁和ABCD互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB∥A₁B₁，AB＝2A₁B₁＝2DD₁＝2a.

(1)求異面直線AB₁與DD₁所成角的余弦值；

(2)已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB₁⊥平面BCC₁B₁.

 

Answer 1

【答案】

(1)     (2)見解析

【解析】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D₁(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B₁(a，a，a)，C₁(0，a，a)．

(1)∵＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)，

∴cos〈，〉＝＝，

所以異面直線AB₁與DD₁所成角的余弦值為.

(2)證明：∵＝(－a，－a，a)，

＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)，

∴∴FB₁⊥BB₁，F(xiàn)B₁⊥BC.

∵BB₁∩BC＝B，∴FB₁⊥平面BCC₁B₁.