已知曲線C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離相等．
（Ⅰ） 求曲線C的方程；
（Ⅱ）若曲線C上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在其對稱軸的上、下兩側(cè)，且|FA|=2，|FB|=5，求原點(diǎn)O到直線AB的距離．
分析：（1）由題意可得曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求曲線C的方程；（2）由題意易得點(diǎn)AB的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AB的方程，由距離公式可得答案．
解答：解：（1）∵曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
∴曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，且
p
2
=1，
∴曲線C的方程為y2=4x；
（2）由拋物線的定義結(jié)合|FA|=2可得，A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2，
即A的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可得y=2，即A（1，2），
同理可得B（4，-4），故直線AB的斜率k=
2-(-4)
1-4
=-2，
故AB的方程為y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：原點(diǎn)O到直線AB的距離為
|-4|
22+12
=
4
5
5
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•濱州一模）已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)An（xn，yn）作一斜率為kn=
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1（xn+1，yn+1），點(diǎn)列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn與xn+1的關(guān)系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（III）若cn=3n-λbn（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知動圓M過定點(diǎn)F（0，1）且與x軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F′，動點(diǎn)F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x0，y0）是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l．若點(diǎn)B在l上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，且曲線C的一條切線交x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求數(shù)學(xué)公式的值；
（3）若數(shù)學(xué)公式，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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同步練習(xí)冊答案