Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前 n 項和為S_n，且點（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上．計算+++…+．

Answer 1

【答案】分析：由點（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，可得a_n+1=a_n+1，又a₁=1，可判斷{a_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列，從而求得
其前 n 項和為S_n=，于是可用裂項法求得=2（-），從而可求得答案．
解答：解：∵a₁=1，點（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1-a_n=1，…（3分）
∴{a_n}是等差數(shù)列，首項和公差均為1，
∴a_n=1+（ n-1）=n．…（6分）
∴S_n=1+2+…+n=，…（8分）
∴==2（-）…（10分）
∴+++…+=2（1-）+2（-）+2（-）+…+2（-）
=2（1-）=．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列的求和，關(guān)鍵在于判斷出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求得前 n 項和S_n，再用裂項法求+++…+，屬于中檔題．