已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面xOy上的一個動點(diǎn)，|OP|=
2
（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)M（-1，0），則cos∠OPM的取值范圍是
[
2
2
，1]
[
2
2
，1]
．
分析：設(shè)P（x，y），表示出
PO
=（-x，-y），
PM
=(-1-x，-y)．利用向量夾角的坐標(biāo)表示建立cos∠OPM關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，求出函數(shù)值域即可．
解答：解：由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，
2
為半徑的圓．
設(shè)P（x，y），
PO
=（-x，-y），
PM
=(-1-x，-y)
cos∠OPM=
PO
•
PM
|
PO
|×|
PM
|
=
1+x2+y2
x2+y2
×
(-1-x)2+(-y)2
=
2+x
2
×
3+2x

令
6+4x
=t，則x=
t2-6
4
，則y=
t2+2
4t
≥
2
2
t
4t
=
2
2
，即cos∠OPM的最小值為
2
2

當(dāng)點(diǎn)P在x軸時，∠OPM=0，cos∠OPM=1．
故答案為：[
2
2
，1]
點(diǎn)評：本題考查向量夾角求解，函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過A、B點(diǎn)作直線l1：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問是否存在實(shí)數(shù)λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進(jìn)一步思考問題：若上述問題中直線l1：x=-
a2
c
、點(diǎn)F（-c，0）、曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，則使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷
 
 （填寫“不正確”或“正確”）（限于時間，這里不需要舉反例，或證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=-
p
2
-1（p是正常數(shù)）的距離為d1，到點(diǎn)F(
p
2
，0)的距離為d2，且d1-d2=1．（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l 過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過A、B點(diǎn)作直線l1：x=-
p
2
 的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，求證=
FM
•
FN
=0；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FEN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），λ=
S
2
2
S1S3
，求λ 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過A、B點(diǎn)作直線l1：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問是否存在實(shí)數(shù)λ，使
S
2
2
=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=-
p
2
-1（p是正常數(shù)）的距離為d1，到點(diǎn)F(
p
2
，0)的距離為d2，且d1-d2=1．
（1）求動點(diǎn)p所在曲線C的方程
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過A、B點(diǎn)作直線l1：x=-
p
2
的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，求證：FM⊥FN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年重慶市高三第五次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離為d1，到點(diǎn)F（– 1，0）的距離為d2，且．

(1)    求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；

(2)    直線過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B(點(diǎn)A或B不在x軸上)，分別過A、B點(diǎn)作直線的垂線，對應(yīng)的垂足分別為，試判斷點(diǎn)F與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況)；

(3)    記，，(A、B、是(2)中的點(diǎn))，問是否存在實(shí)數(shù)，使成立．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

 

 

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