Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，F(xiàn)C的中
點(diǎn)為M．
（1）求證：OM∥平面DAF；
（2）求二面角A-CF-E的大小；
（3）求三棱錐O-MEF的體積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)DF的中點(diǎn)為N，由三角形中位線定理，我們易確定MNAO為平行四邊形，進(jìn)而OM∥AN，再由線面平行的判定定理我們可得OM∥平面DAF；
（2）取EF的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接OG，OH，在O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面ACF的一個法向量和平面CEF的一個法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-CF-E的大��；
（3）取BF的中點(diǎn)Q，連接MQ，由已知可證得MQ為三棱錐M-OEF的高，求出底面△OEF的面積，代入棱錐的體積公式，即可求出三棱錐O-MEF的體積．

解答：證明：（1）設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則
則MN

∥ .

.

AO，MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN，
又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．…（4分）
（2）取EF的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接OG，OH，在O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，如圖示：
由已知中AB=2，AD=EF=1，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，1），D（0，-1，1），E（

3

2

，

1

2

，0），F(xiàn)（

3

2

，-

1

2

，0），
∴

CF

=（

3

2

，-

3

2

，-1），

AC

=（0，2，1），

EF

=（0，-1，0）
設(shè)向量

m

=（a，b，c）為平面ACF的法向量，則

m

⊥

CF

，

m

⊥

AC

即

3 2 a- 3 2 b-c=0 2b+c=0

即向量

m

=（

7 3

3

，1，-2）為平面ACF的一個法向量
設(shè)向量

n

=（x，y，z）為平面CEF的一個法向量，則

n

⊥

CF

，

n

⊥

EF

即

3 2 x- 3 2 y-z=0 -b=0

即向量

n

=（1，0，

3

2

）為平面CEF的一個法向量，
設(shè)鈍二面角為θ，則
cosθ=-

| m • n |

| m |•| n |

=-

2 7

7

∴二面角A-CF-E的大小為：π-arccos

2 7

7

…（8分）
（3）∵V_O-MEF=V_M-OEF
取BF的中點(diǎn)Q，連接MQ，
則MQ∥BC，且MQ=

1

2

BC=

1

2

∵矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，
∴BC⊥平面圓O（ABEF）
∴MQ⊥平面圓O（ABEF）
即MQ是棱錐M-OEF的高
又∵S_△OEF=

3

4

∴三棱錐O-MEF的體積為

3

24

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，棱錐的體積，其中（1）的凈是證得OM∥AN，（2）的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（3）的關(guān)鍵是利用等體積法，轉(zhuǎn)求三棱錐O-MEF的體積為求三棱錐M-OEF的體積．在解答（2）中易忽略二面角A-CF-E為鈍二面角，進(jìn)而得到答案．