Question

過拋物線y²=4x的焦點F作直線m交拋物線于點A、B，則△AOB是（ ）
A．直角三角形
B．銳角三角形
C．鈍角三角形
D．不確定

Answer 1

【答案】分析：①當直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k（x-1），聯(lián)立不平為線方程可得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．即可利用韋達定理得到=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以=-3＜0．②可得=-3＜0．由以上即可得到答案．
解答：解：①拋物線的焦點坐標為（1，0），當直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
設(shè)點A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
根據(jù)韋達定理，有x₁+x₂=，x₁x₂=1．
因為=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以=-3＜0，
所以∠AOB為鈍角，則△AOB是鈍角三角形．
②當斜率不存在時，A（1，2），B（1，-2），所以可得=-3＜0，
所以∠AOB為鈍角，則△AOB是鈍角三角形．
故選C．
點評：本題主要考查了拋物線的方程與性質(zhì)，在涉及直線與圓錐曲線問題時，設(shè)直線方程的時候一定要考慮到斜率不存在的情況；并且解決此類問題的方法一般是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程借助于韋達定理解決問題，此類題目屬于中檔題型．