Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直線DC與面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：PA⊥CD，因?yàn)锳BCD為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，所以CD⊥AD，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到線面垂直進(jìn)而得到面面垂直．
（2）根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，并且寫出平面的有關(guān)斜線所在的向量，再利用向量的關(guān)于計(jì)算線面角．

解答：解：（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD∴PA⊥CD
又ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD             
（2）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
所以

CB

=(-1，1，0)，

CP

=(-1，-1，1)
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(1，y，z)，
由

n

•

CB

=0，

n

•

CP

=0，
可得

n

=(1，1，2)，
設(shè)直線DC與面PBC所成的角為θ，
有sinθ=|cos＜

n

，

DC

＞|=

6

6

，
∴直線DC與面PBC所成的角的正弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到線面的一些平行與垂直關(guān)系，并且利于建立坐標(biāo)系利用向量解決空間角問題．