Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E為A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線DE與B₁C所成角的余弦是

 

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Answer 1

分析：由題意，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，由于正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E為A₁B₁的中點(diǎn)，故可令正方體的邊長為2，得出異面直線DE與B₁C的方向向量，由兩向量的夾角公式求出兩向量夾角的余弦，由于兩直線的夾角一定是小于等于90°的角，由此易得出夾角的余弦值

解答：解：如圖，以DA，DC，DD1所在直線建立X，Y，Z軸，令正方體的邊長為2，則有D（0，0，0），E（2，1，2），B₁（2，2，2），（0，2，0）
故異面直線DE與B₁C的方向向量分別是（2，1，2），（-2，0，-2）
∴異面直線DE與B₁C所成角的余弦為|

(2，1，2)•(-2，0，-2)

9 × 8

|=|

-8

6 2

|=

2 2

3

故答案為

2 2

3

點(diǎn)評：本題考查用空間向量求異面直線間的夾角，解題的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，求出兩異面直線的方向向量，由公式求出兩直線夾角的余弦，求解時(shí)要注意，兩直線的夾角小于等于90°，其余弦值為正