已知A,B,C是不共線的三點(diǎn),G是△ABC內(nèi)一點(diǎn),若=0,求證:G是△ABC的重心.

 

證明：

如圖所示,因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/41/64/189806416410023864/3.gif" width=100 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1242">=0,

所以.

以,為鄰邊作平行四邊形BGCD,

則有=+,

所以=.

又因?yàn)樵?IMG align="absmiddle" height=12 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/41/64/189806416410023864/2.jpg" width=17 v:shapes="_x0000_i1251">BGCD中,BC交GD于點(diǎn)E,

所以.

所以AE是△ABC的邊BC的中線,

且||=2||.

所以G是△ABC的重心.

溫馨提示

(1)解此題時(shí)要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義;(2)把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題是解此類(lèi)問(wèn)題的常用方法.通過(guò)本例題知,若G為△ABC的重心,則有++=0.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a,b,c是三個(gè)非零向量,試判斷下列命題的真假.

       (1)a·b=|a||b|是a∥b的充要條件；

       (2)|a·b|=|a||b|是a與b共線的充要條件；

       (3)|a|=|b|且|a·c|=|b·c|是a∥b的必要不充分條件；

       (4)|a|=|b|且a·c=b·c是a∥b的充分不必要條件.

      

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O,A,B,C是不共面的四點(diǎn),G是△ABC的重心,則（    ）

A.=()

B.=()

C.=++

D.=)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a,b,c是不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的一組向量是（    ）

A.2a,a-b,a+2b                            B.2b,b-a,b+2a

C.a,2b,b-c                                D.c,a+c,a-c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題：①若，則；

②與非零向量共線的單位向量是；

③若，則A,B,C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn);

④若，則至少有一個(gè)是；

⑤已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，G是內(nèi)一點(diǎn)，若，則G是的重心。其中真命題的個(gè)數(shù)是（   ）

A. 個(gè)      B.個(gè)      C. 個(gè)     D.個(gè)

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