Question

方程sinx=

x

2009π

的根的個數(shù)為

2010

．

Answer 1

分析：要求方程 sinx=

x

2009π

的實數(shù)解的個數(shù)，即求 y=

x

2009π

，y=sinx，這兩個方程的曲線交點的個數(shù)就是原方程實數(shù)解的個數(shù)，根據(jù)直線  y=

x

2009π

的斜率為

1

2009π

，和-1≤sinx≤1，以及三角函數(shù)的周期性，即可求得結(jié)論．

解答：解：令 y=

x

2009π

，y=sinx，這兩個方程的曲線交點的個數(shù)就是原方程實數(shù)解的個數(shù)．
由于直線 y=

x

2009π

的斜率為

1

2009π

，又-1≤sinx≤1，
所以僅當-2009π≤x≤2009π時，兩圖象有交點．
由函數(shù)y=sin的周期性，把閉區(qū)間[-2009π，2009π]分成
[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005個區(qū)間，
故實際交點有2010個．即原方程有2010個實數(shù)解．
故選C．

點評：此題是個中檔題．考查根的存在性以及根的個數(shù)的判斷，以及三角函數(shù)的周期性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和靈活應用知識分析解決問題的能力．