Question

方程sinx=

x

2009π

的根的個(gè)數(shù)為

2010

．

Answer 1

分析：要求方程 sinx=

x

2009π

的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，即求 y=

x

2009π

，y=sinx，這兩個(gè)方程的曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是原方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，根據(jù)直線  y=

x

2009π

的斜率為

1

2009π

，和-1≤sinx≤1，以及三角函數(shù)的周期性，即可求得結(jié)論．

解答：解：令 y=

x

2009π

，y=sinx，這兩個(gè)方程的曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是原方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．
由于直線 y=

x

2009π

的斜率為

1

2009π

，又-1≤sinx≤1，
所以僅當(dāng)-2009π≤x≤2009π時(shí)，兩圖象有交點(diǎn)．
由函數(shù)y=sin的周期性，把閉區(qū)間[-2009π，2009π]分成
[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005個(gè)區(qū)間，
故實(shí)際交點(diǎn)有2010個(gè)．即原方程有2010個(gè)實(shí)數(shù)解．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷，以及三角函數(shù)的周期性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．