如圖，斜三棱柱中，側(cè)面底面ABC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面是菱形，，E、F分別是、AB的中點(diǎn)．

求證：（1）；

（2）求三棱錐的體積.

 

【答案】

（1）證明詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）作，O為垂足，而，可證O為AC的中點(diǎn)，得，可證四邊形為平行四邊形，即，由已知可得，所以底面ABC．即底面ABC. 

（2）由于底面ABC是等邊三角形，且F是AB的中點(diǎn)，可知F到平面的距離等于B點(diǎn)到平面距離BO的一半，而BO=,又三棱錐的體積等于三棱錐F-EA1C的體積,求出三角形EA1C的面積，最后根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.

試題解析：證明：（1） 在平面內(nèi)，作，O為垂足．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004310296986832/SYS201404100431317823789612_DA.files/image003.png">，所以，即O為AC的中點(diǎn)，所以.        3分

因而．因?yàn)閭?cè)面⊥底面ABC，交線為AC，，所以底面ABC．

所以底面ABC.                 6分

（2）F到平面的距離等于B點(diǎn)到平面距離BO的一半，而BO=.               8分

所以.          12分

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面垂直的判定以及棱錐的體積.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60°角．
（1）求證：AC⊥面ABC1；
（2）求證：C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）求此三棱柱體積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角，AA1=2，低面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)（重心為三條中線的交點(diǎn)）．E是線段BC1上一點(diǎn)且BE=
13
BC1．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA1B1B；
（2）求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•成都二模）如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1，AC=AB=
2
，∠CAA1=∠BAA1=135°．
（1）求∠BAC的大��；
（2）若底面△ABC的重心為G，側(cè)棱AA1=4，求GC1與平面A1B1C1所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB，AC都成45°角．
（Ⅰ）求此斜三棱柱的表面積．
（Ⅱ）求三棱錐B′-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱中，在底面的射影恰好是的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成角，側(cè)面與側(cè)面成角.

（1）求證：四邊形是矩形；（2）求斜三棱柱的體積.

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