Question

現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．
（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（Ⅱ）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為

2

3

．設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．由此能求出這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：（Ⅰ）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為

1

3

，
去參加乙游戲的人數(shù)的概率為

2

3

．
設(shè)“這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．
這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）=

C

2 4

（

1

3

）2（

2

3

）2=

8

27

．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

，
∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)的求解，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．