6．已知x＞0，y＞0，x+y=2，求證：（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）≥4．

分析 由x+y=2，x＞0，y＞0，可得（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{3}{xy}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 證明：（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{xy}$=1+$\frac{x+y}{xy}$+$\frac{1}{xy}$．
∵x+y=2，x＞0，y＞0，
∴（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）=1+$\frac{3}{xy}$，2$≥2\sqrt{xy}$，即$\frac{1}{xy}≥$1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)．
∴（1+$\frac{1}{x}$）（1+$\frac{1}{y}$）≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．求證：（1）sin（$\frac{3π}{2}$-α）=-cosα；
（2）cos（$\frac{3π}{2}$+α）=sinα．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

17．下列四個(gè)命題中正確的是（　�。�
A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示
B．經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程$\frac{（y-{y}_{1}）}{（{y}_{2}-{y}_{1}）}$=$\frac{（x-{x}_{1}）}{（{x}_{2}-{x}_{1}）}$表示
C．不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1表示
D．斜率存在且不為0，過(guò)點(diǎn)（n，0）的直線都可以用方程x=ny+n表示．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．已知全集U=R，集合$A=\left\{{x|\frac{1}{2}≤{2^x}＜8}\right\}$，集合$B=\left\{{x|\frac{5}{x+2}≥1}\right\}$．
（1）求A，B；
（2）求（∁RA）∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

1．“f（x）≥3”是“f（x）的最小值為3”的（　�。l件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的是（　�。�
A．命題“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題是真命題
B．命題“若$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|”的否命題是真命題
C．x=1是$x-1=\sqrt{x-1}$的必要不充分條件
D．ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．設(shè)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sinπx，x≥0\\ cos（{\frac{πx}{2}+\frac{π}{3}}），x＜0\end{array}\right.$則$f（f（\frac{15}{2}））$=（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$-\frac{1}{2}$D．$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．（1）計(jì)算：${[（1+2i）•{i^{100}}+{（\frac{1-i}{1+i}）^5}]^2}-{（\frac{1+i}{{\sqrt{2}}}）^{20}}$
（2）已知z，w為復(fù)數(shù)，（1+3i）•z為純虛數(shù)，$w=\frac{z}{2+i}$，且$|w|=5\sqrt{2}$，求復(fù)數(shù)z．

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同步練習(xí)冊(cè)答案