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已知直線l1:x-2y-1=0,直線l2:ax-by+1=0
(1)集合A={1,2,3,4,5,6},若a∈A、b∈A且隨機取數,求l1與l2平行的概率;
(2)若a∈[0,6]、b∈[0,4]且隨機取數,求l1與l2的交點位于第一象限的概率.
分析:(1)利用兩直線平行,得到a,b的關系,然后利用古典概型求概率.
(2)先求出l1與l2的交點,然后利用交點在第一象限,得出a,b的關系式,然后利用幾何概型的公式求概率.
解答:解:(1)若l1與l2平行,則
a
1
=
-b
-2
-1
1
,解得b=2a.
因為a∈A、b∈A,所以a,b的組合共有6×6=36種.
所以滿足b=2a的a,b有(1,2),(2,4),(3,6)有3種.
所以l1與l2平行的概率為
3
36
=
1
12

(2)由a,b構成的基本事件為
0≤a≤6
0≤b≤4
表示的區(qū)域.
直線x-2y-1=0的斜截式方程為y=
1
2
x-
1
2
,斜率為
1
2

由ax-by+1=0,得解得y=
a
b
x+
1
b
,所以直線的斜率
a
b
≥0
,y軸上的截距
1
b
>0
,
所以要使l1與l2的交點位于第一象限,則必有
a
b
1
2
,即b>2a.
所以利用幾何概型分別作出對應的平面區(qū)域如圖:
則l1與l2的交點位于第一象限,對應的區(qū)域為陰影部分的面積.
當b=4時,解得a=2,即E(2,4).
所以三角形OBE的面積為
1
2
×4×2=4
,而矩形OBCD的面積為4×6=24.
所以由幾何概型可知l1與l2的交點位于第一象限的概率為
4
24
=
1
6
點評:本題主要考查了古典概型和幾何概型的概率公式的應用.對應幾何概型要轉化為相應的長度,面積或體積來進行計算.本題的難點是如何求出l1與l2的交點位于第一象限的條件,最后要通過線性規(guī)劃來解決.
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A、
1
36
B、
2
36
C、
3
36
D、
6
36

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1
12
1
12

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