Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中點．
（1）求直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的坐標(biāo)系，可得A、B、C、D、A₁、B₁、C₁各點的坐標(biāo)，由此得到向量

A1D

、

A1C1

、

DB

、

B 1C1

、

DB1

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

A1D

，

B 1C1

＞的值，即可得到直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為

n

=（x，y，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

n

=（3，0，1），從而得到直線DB₁與平面A₁C₁D所成角θ滿足sinθ=cos＜

DB1

，

n

＞=

3 35

35

，即得直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答：解：根據(jù)題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
由此可得

A1D

=（1，2，-3），

A1C1

=（0，4，0），

DB

=（1，-2，0），

B 1C1

=（-2，4，0），

DB1

=（1，-2，3）
（1）∵cos＜

A1D

，

B 1C1

＞=

-2+8

14 • 20

=

3 70

70

，
∴直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值為

3 70

70

；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A1D =x+2y-3z=0 n • A 1C1 =4y=0

，取z=1得x=3，y=0，
∴

n

=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一個法向量
因此，設(shè)直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為θ，
可得sinθ=cos＜

DB1

，

n

＞=

3+3

14 • 10

=

3 35

35

，
即直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值等于

3 35

35

．

點評：本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識點，屬于中檔題．