Question

已知函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，則方程f（f（x））=f（x）有（　�。﹤�(gè)實(shí)數(shù)根．

A．6

B．5

C．4

D．2

Answer 1

分析：由于f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，先考慮函數(shù)在（0，+∞）上的情況．令t=f（x）＞0，方程即f（t）=t，解得
t=

2

，進(jìn)而求得x=

2

2

 或 x=

2

．從而得到方程在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．再由對(duì)稱性可得，方程在
（-∞，0）上也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而得到方程的根的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|滿足 f（-x）=f（x），故f（x）是偶函數(shù)．
先考慮函數(shù)在（0，+∞）上的情況．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

2x ，   0＜x＜1 2 x ，   x ≥1

．
令t=f（x）＞0，方程f（f（x））=f（x）即f（t）=t，∴①

0＜t＜1 2t=t

，或②

t≥1 2 t =t

．
解①得t∈∅，解②得 t=

2

．
故有f（x）=

2

，當(dāng) 0＜x＜1時(shí)，由 2x=

2

解得 x=

2

2

．
當(dāng)x≥1時(shí)，由

2

x

=

2

，解得 x=

2

．
綜上可得，方程f（f（x））=f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
再由f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可得，方程f（f（x））=f（x）在（-∞，0）上也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
故方程f（f（x））=f（x）在定義域{x|x≠0}上有4個(gè)實(shí)數(shù)解，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，屬于中檔題．