Question

某種商品，原來定價(jià)每件p元，每月能賣出n件，假若定價(jià)上漲x成（這里x成即

x

10

，且0＜x≤10），每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍．
（1）設(shè)y=

1

2

x，求售貨金額最大時(shí)的x值；
（2）若y=

2

3

x，求使售貨金額比原來有所增加的x值的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)售貨金額=單件定價(jià)×銷售量建立函數(shù)關(guān)系，然后基本不等式求出函數(shù)的最值；
（2）要使售貨金額比原來有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)z＞1時(shí)才滿足要求，建立不等式關(guān)系，解之即可求出所求．

解答：解：（1）由題意知，某商品定價(jià)若上漲x成，上漲后的定價(jià)、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是p（1+

x

10

）元、n（1-

y

10

）件、znp元．
∴znp=p（1+

x

10

）n（1-

y

10

），
又y=

1

2

x，
∴z=

1

2

（1+

x

10

）（2-

x

10

）．
由已知1+

x

10

＞0，2-

x

10

＞0，
∴z≤

1

2

[

(1+ x 10 )+(2- x 10 )

2

]²=

9

8

，
當(dāng)且僅當(dāng)1+

x

10

=2-

x

10

，
即x=5時(shí)，取“=”號(hào)，得x=5∈（0，10]．
∴售貨金額最大時(shí)x的值為5．
（2）當(dāng)y=

2

3

x時(shí)，
z=（1+

x

10

）（1-

y

10

）=

1

100

（10+x）（10-

2

3

x）．
顯然，要使售貨金額比原來有所增加，
當(dāng)且僅當(dāng)z＞1時(shí)才滿足要求．
由

1

100

（10+x）（10-

2

3

x）＞1，得0＜x＜5．
∴使售貨金額比原來有所增加的x值的范圍是（0，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．