Question

已知函數(shù)f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，a≠1）．

（1）當(dāng)a＞1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；

（2）若函數(shù)y＝|f（x）－t|－1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，試求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）t＝2；（3）

【解析】試題分析：（1）通過f '（x）≥0（a＞0）恒成立可證；（2）要使得函數(shù)y＝|f（x）－t|－1有三個(gè)零點(diǎn)，只需其極大值大于0，而極小值小于0即可；（3）要滿足題意，只需在x∈[－1，1]時(shí)函數(shù)的最大值與最小值之差不小于e－1即可.

解析：（1）

由于，故當(dāng)時(shí)，，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增． 4分

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020406052697377075/SYS201502040605316458501588_DA/SYS201502040605316458501588_DA.010.png">，且在R上單調(diào)遞增，

故有唯一解．

所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 

又函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)根，

而，所以，解得． 10分

（3）因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020406052697377075/SYS201502040605316458501588_DA/SYS201502040605316458501588_DA.024.png">，使得，

所以當(dāng)時(shí)，．

由（2）知，在上遞減，在上遞增，

所以當(dāng)時(shí)，．

而，

記，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020406052697377075/SYS201502040605316458501588_DA/SYS201502040605316458501588_DA.034.png">（當(dāng)時(shí)取等號），

所以在上單調(diào)遞增．

而，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

①當(dāng)時(shí)，由；

②當(dāng)時(shí)，由．

綜上可知，所求的取值范圍為． 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，極值，不等式