Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若f（x₁）=x₁，則關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由題意可得x₁、x₂是f′（x）=x²+ax+b=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△=a²-4b＞0，從而得到關(guān)于
x的方程f²（x）+af（x）+b=0有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c
有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，不妨假設(shè)x₁＜x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=a²-4b＞0．
由于方程f²（x）+af（x）+b=0的判別式
△′=△=a²-4b＞0，
故此方程有兩解為 f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
即為方程f（x）=x₁ 的解個(gè)數(shù)；
由于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₂ 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程f（x）=x₂的解個(gè)數(shù)．
根據(jù)f（x₁）=x₁，畫出圖形，如圖所示：
由于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₁的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x₂ 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
可得關(guān)于x的方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3．
故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念，函數(shù)的極值及方程解得個(gè)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．