【題目】已知，其中是實常數(shù).

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，求證：函數(shù)的零點有且僅有一個；

（3）若，設函數(shù)的反函數(shù)為，若是公差的等差數(shù)列且均在函數(shù)的值域中，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）直接解不等式即可；

（2）說明函數(shù)是增函數(shù)，然后由，可得結(jié)論；

（3）首先不等式變形：，即

，而，問題轉(zhuǎn)化為證明是關于的減函數(shù)，即設，證明，利用反函數(shù)定義，設，由單調(diào)遞增可得之間的大小關系，得.

作兩個差，，并相減得，若，此式中分析左右兩邊出現(xiàn)矛盾，從而只能有，證得結(jié)論．

（1），所以，，易知，所以，所以.

（2）函數(shù)為增函數(shù)，且，由于.故在上必存在，使.又為增函數(shù)，所以函數(shù)的零點有且僅有一個.

（3）即證：.

，而，所以只需證是關于的減函數(shù).

設，即證※大于0

設，由單調(diào)遞增可得.

.

而，

兩式相減得，

①

同理②，

①-②得：

.

若，則上式左側(cè)，右側(cè)矛盾，故※.證畢.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的三個頂點都在橢圓上，且點在第一象限，點為的中點，．

（1）若，求點的坐標；

（2）的面積是否是常數(shù)，若是，請求出；若不是，請說明理由．

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【題目】已知的兩個頂點坐標是，，的周長為，是坐標原點，點滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設不過原點的直線與曲線交于兩點，若直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)，將此函數(shù)圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（ ）

①繞著x軸上一點旋轉(zhuǎn)；②以x軸為軸，作軸對稱；

③沿x軸正方向平移；④以x軸的某一條垂線為軸，作軸對稱；

A.①③B.③④C.②③D.②④

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【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，ACDGEF，且.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知圓，動點，線段QF與圓F相交于點P，線段PQ的長度與點Q到y軸的距離相等．

（Ⅰ）求動點Q的軌跡W的方程；

（Ⅱ）過點作兩條互相垂直的直線與W的交點分別是M和N（M在N的上方，A，M，N為不同的三點），求向量在y軸正方向上的投影的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若，則函數(shù)的零點個數(shù)為________；若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺中，，，，，，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知項數(shù)為的數(shù)列滿足條件：①；②；若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列的“關聯(lián)數(shù)列.

（1）數(shù)列1，5，9，13，17是否存在“關聯(lián)數(shù)列”？若存在，寫出其“關聯(lián)數(shù)列”，若不存在，請說明理由；

（2）若數(shù)列存在“關聯(lián)數(shù)列”，證明：；

（3）已知數(shù)列存在“關聯(lián)數(shù)列”，且，，求數(shù)列項數(shù)m的最小值與最大值.

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