Question

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A．f（x）的最大值為2
• B．f（x）是最小正周期為π的偶函數(shù)
• C．將函數(shù)y=

  3

  sin2x的圖象向左平移

  π

  6

  得到函數(shù)f（x）的圖象
• D．f（x）的一條對稱軸為x=

  π

  3

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)化為f（x）=

3

cos（2x-

π

6

），可得它的最大值為

3

，故排除A．再根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π，且是非奇非偶函數(shù)，故排除B．將函數(shù)y=

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

得到函數(shù)y=

3

sin2（x-

π

6

），利用誘導(dǎo)公式可得得到函數(shù)函數(shù)f（x）=

3

cos（2x-

π

6

） 的圖象，故C正確．令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正確．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

）═1+cos2x-2×

1-cos(2x- π 3 )

2

=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

），
即 f（x）=

3

cos（2x-

π

6

）．
故函數(shù)的最大值為

3

，故排除A．
故函數(shù)的最小正周期為π，且是非奇非偶函數(shù)，故排除B．
將函數(shù)y=

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

得到函數(shù)y=

3

sin2（x-

π

6

）=

3

sin（2x-

π

3

）=cos[

π

2

-（2x-

π

3

）]=

3

cos（-2x+

π

6

）=

3

cos（2x-

π

6

）=f（x）的圖象，故C正確．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正確．
故選C．

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的余弦函數(shù)公式，積化和差公式，余弦函數(shù)的對稱性及奇偶性，以及三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律，其中靈活運用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．