Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：令n=1，2，3，有，
即，
解得 b₁=1，b₂=2，b₃=3．由此猜想：b_n=n（n∈N^*）．（4分）
下面證明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
解法一：設S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
有 S_n=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
又S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+0•C_n⁰--------------8分
兩式相加2S_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ--------------10分
故S_n=n•2^n-1，n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ--------------12分
解法二：構造函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ，（n∈N^*），由二項式定理知：
f（x）=（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ--------------8分
f′（x）=n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1--------------10分
令x=1，即得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+nC_nⁿ--------------12分
解法三：（1）n=1，成立．-----------------5分
（2）假設n=k時等式成立，即C_k¹+2C_k²+3C_k³+…+kC_k^k=k•2^{k-1
當n=k+1時，
C_k+11+2C_k+12+…+kC_k+1k+（k+1）C_k+1k+1
=（C_k0+C_k1）+2（C_K1+C_K2）+…+k（C_kk-1+C_kk）+（k+1）----------8分
=（C_k0+2C_k1+3C_k2+…+kC_kk-1）+（C_k1+2C_k2+…+3C_k3+kC_kk）+k+1
=（C_k0+C_k1+C_k2+…+C_kk-1）+[C_k1+2C_k2+…+（k-1）C_kk-1]+k•2k-1+k+1
=（2k-1）+[C_k1+2C_k2+…+（k-1）C_kk-1+kC_kk]+k•2k-1+1}
=2^k-1+k•2^k-1+k•2^k-1+1---（10分）
=（k+1）•2^k
也就是說，當n=k+1時，等式也成立．
由（1）（2）可知，存在b_n=n，
使得C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1對一切n∈N^*成立．12分）
分析：可令n=1，2，3，求得b₁，b₂，b₃，由此猜想b_n，
解法一：設S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ通過倒序相加法得到結(jié)論；
解法二：構造函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ，（n∈N^*），由二項式定理展開，用導數(shù)法解決；
解三法：用數(shù)學歸納解法證明結(jié)論．．
點評：本題考查數(shù)學歸納法證明等式，難點在于對組合數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應用，屬于難題．