Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分別為C₁C、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出AF⊥面B₁FE，故B₁F⊥AF，設(shè)AB=1，能夠推導(dǎo)出B1F2+EF2=B1E2，故B₁F⊥EF，所以B₁F⊥平面 AEF．
（2）以AB為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則

AB1

=（1，0，1），

AF

=（

1

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，1，

1

2

），分別求出平面AB₁E的法向量為

n

和平面AEF的法向量為

m

，利用向量法能夠求出二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，AF⊥BB₁，
∴AF⊥面B₁FE，
∵B₁F?面B₁FE，
∴B₁F⊥AF，
設(shè)AB=1，∵AB=AA₁，
∴AB=AA₁=AC=BB₁=1，BF=CF=

2

2

，
∴B1F=

1+ 1 2

=

6

2

，EF=

1 4 + 1 2

=

3

2

，B1E=

2+ 1 4

=

3

2

，
∴B1F2+EF2=B1E2，
∴B₁F⊥EF，
所以B₁F⊥平面 AEF．
（2）以AB為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，
則A（0，0，0），B₁（1，0，1），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，0），E（0，1，

1

2

），
∴

AB1

=（1，0，1），

AF

=（

1

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，1，

1

2

），
設(shè)平面AB₁E的法向量為

n

=（x₁，y₁，z₁），則

n

•

AB1

=0，

n

•

AE

=0，
∴

x1+z1=0 y1+ 1 2 z1=0

，∴

n

=（1，

1

2

，-1）．
設(shè)平面AEF的法向量為

m

=（x₂，y₂，z₂），
則

m

•

AF

=0，

m

•

AE

=0，
∴

1 2 x2+ 1 2 y   2 =0 y2+ 1 2 z2=0

，∴

m

=（1，-1，2），
設(shè)二面角B₁-AE-F的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1- 1 2 -2

2+ 1 4 • 6

|=

6

6

．
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．