已知x1＞0，x1≠1且xn+1=
xn(xn2+3)3xn2+1
（n=1，2，…）試證：xn＜xn+1或xn＞xn+1（n=1，2，…）．
分析：由x1＞0，x1≠1且xn+1=
xn(xn2+3)
3xn2+1
可知xn＞0，所以可用作商比較．
解答：證明∵x1＞0，x1≠1且xn+1=
xn(xn2+3)
3xn2+1

∴xn＞0
又∵
xn+1
xn
=
xn2+3
3xn2+1
=
1
3
+
8
3
3xn2+1
在（0，ω）上是減函數(shù)
當(dāng)xn＞1時
xn+1
xn
＜ 1
∴xn＞xn+1
當(dāng)0＜xn＜1時
xn+1
xn
＞ 1
∴xn＜xn+1
點評：本題主要考查數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，判斷時一般是用比較法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
，（n=1，2，…）．試證：數(shù)列{xn}或者對任意自然數(shù)n都滿足xn＜xn+1，或者對任意自然數(shù)n都滿足xn＞xn+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知x1＞0，x1≠1且xn+1=數(shù)學(xué)公式（n=1，2，…）試證：xn＜xn+1或xn＞xn+1（n=1，2，…）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=
xn(
x2n
+3)
3
x2n
+1
，（n=1，2，…）．試證：數(shù)列{xn}或者對任意自然數(shù)n都滿足xn＜xn+1，或者對任意自然數(shù)n都滿足xn＞xn+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（第6章 數(shù)列）：6.6 遞歸數(shù)列的基本問題（解析版） 題型：解答題

已知x1＞0，x1≠1且xn+1=（n=1，2，…）試證：xn＜xn+1或xn＞xn+1（n=1，2，…）．

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