Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足條件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），試判斷F（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x）知f（x）的對稱軸是x=1，由 f（x）=x有等根知△=0，從而求得b、a的值；
（2）由二次函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，可得f（x）在[1，2]上的最大、最小值；
（3）計算F（x）=f（x）-f（-x）的解析式，判定F（x）的奇偶性并用定義證明．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-

b

2a

=1①，
又∵方程 f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4a•0=0②，
由①②解得b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式為：f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）知：f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
∵二次函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時．y_max=

1

2

，當(dāng)x=2時，y_min=0，
∴x∈[1，2]時，f（x）的值域是[0，

1

2

]；
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）=（-

1

2

x²+x）-[-

1

2

（-x）²+（-x）]=2x，
∴F（x）是奇函數(shù)；
證明：任取x∈R，有F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）是R上的奇函數(shù)．

點評：本題考查了二次函數(shù)的對稱軸、單調(diào)性和奇偶性等知識，是基礎(chǔ)題．