設(shè)定義域在[x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,C的端點(diǎn)分別為A、B,M是C上的任一點(diǎn),向量,若x=λx1+(1-λ)x2,記向量,現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似”是指恒成立,其中K是一個(gè)正數(shù).
(1)證明:0≤λ≤1(2);
(3)請(qǐng)你給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)K的范圍,使得[0,1]上的函數(shù)y=x2(4)與y=x3(5)中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似.
【答案】分析:(1)據(jù)區(qū)間的左端點(diǎn)小于等于右端點(diǎn),列出x1≤x≤x2,將x的值代入解不等式.
(2)對(duì)于y=x2與y=x3分別求出M,N兩點(diǎn)的距離的最大值,利用題目中的定義求出K的范圍.
解答:解:(1)由題意,x1≤x≤x2,即x1≤λx1+(1-λ)x2≤x2,∴x1-x2≤λ(x1-x2)≤0.
∵x1-x2<0,∴0≤λ≤1.
(2)由
所以B、N、A三點(diǎn)在一條直線上.
又由(1)的結(jié)論,N在線段AB上,且與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)相同.
對(duì)于[0,1]上的函數(shù)y=x2,A(0,0),B(1,1),
則有||=x-x2=,故
對(duì)于[0,1]上的函數(shù)y=x3,則有=x-x3=g(x).
在(0,1)上,g′(x)=1-3 x2
可知在(0,1)上y=g(x)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=,
所以函數(shù)y=g(x)在(0,)上是增函數(shù);在(,1)上是減函數(shù).
又g()=,故[0,].
經(jīng)過比較,,所以取k[,),則有函數(shù)y=x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似,函數(shù)y=x3在[0,1]上不可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似.
點(diǎn)評(píng):本題考查解不等式的能力及求函數(shù)最值的方法,新定義題在高考中近幾年常出現(xiàn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義域在[x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,C的端點(diǎn)分別為A、B,M是C上的任一點(diǎn),向量
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2),
OM
=(x,y)
,若x=λx1+(1-λ)x2,記向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
,現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似”是指|
MN
|≤K
恒成立,其中K是一個(gè)正數(shù).
(1)證明:0≤λ≤1(2);
(3)請(qǐng)你給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)K的范圍,使得[0,1]上的函數(shù)y=x2(4)與y=x3(5)中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似.

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設(shè)定義域在[x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,C的端點(diǎn)分別為A、B,M是C上的任一點(diǎn),向量
OA
=(x1y1),
OB
=(x2,y2),
OM
=(x,y)
,若x=λx1+(1-λ)x2,記向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
,現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似”是指|
MN
|≤K
恒成立,其中K是一個(gè)正數(shù).
(1)證明:0≤λ≤1(2);
(3)請(qǐng)你給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)K的范圍,使得[0,1]上的函數(shù)y=x2(4)與y=x3(5)中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似.

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(1)證明:0≤λ≤1(2);
(3)請(qǐng)你給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)K的范圍,使得[0,1]上的函數(shù)y=x2(4)與y=x3(5)中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似.

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