已知橢圓
x2
m2
+
y2
16
=1(m＞0)和雙曲線
x2
n2
-
y2
9
=1(n＞0)有相同的焦點F1、F2，點P為橢圓和雙曲線的一個交點，則|PF1|•|PF2|的值是
25
25
．
分析：先根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點F1、F2，得到m2-n2=25；再根據(jù)點P為橢圓和雙曲線的一個交點結(jié)合定義求出|PF1|與|PF2|的表達式，代入即可求出|PF1|•|PF2|的值．
解答：解：因為橢圓
x2
m2
+
y2
16
=1(m＞0)和雙曲線
x2
n2
-
y2
9
=1(n＞0)有相同的焦點F1、F2，
所以有：m2-16=n2+9⇒m2-n2=25
設P在雙曲線的右支上，左右焦點F1、F2：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF1|+|PF2|=2m   ①
|PF1|-|PF2|=2n    ②
由①②得：|PF1|=m+n，|PF2|=m-n．
∴|PF1|•|PF2|=m2-n2=25．
故答案為：25．
點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點F1、F2，利用定義化簡．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
m2+m
+
y2
m
=1的右焦點為F，右準線為l，且直線y=x與l相交于A點．
（Ⅰ）若⊙C經(jīng)過O、F、A三點，求⊙C的方程；
（Ⅱ）當m變化時，求證：⊙C經(jīng)過除原點O外的另一個定點B；
（Ⅲ）若
AF
•
AB
＜5時，求橢圓離心率e的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
m2
+
y2
n2
=1(0＜m＜n)的離心率為
3
2
，且經(jīng)過點P(
3
2
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+t（k≠0）交橢圓C于A、B兩點，D為AB的中點，kOD為直線OD的斜率，求證：k•kOD為定值；
（3）在（2）條件下，當t=1時，若
OA
與
OB
的夾角為銳角，試求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
m2
+y2=1的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+t（t＞0）與橢圓C交于A，B兩點．若原點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數(shù)列，曲線y=8-x2恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點和焦點分別是橢圓C1的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C1和C2上的點，問是否存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數(shù)列，曲線y=8-x2恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點和焦點分別是橢圓C1的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C1和C2上的點，問是否存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．

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