Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

Answer 1

分析：（1）若（x）在x=2時(shí)取得極值，則f′（2）=0，根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，代入即可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論a在不同取值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，利用導(dǎo)數(shù)法判斷其在定義上的單調(diào)性后，易得g（x）＞0恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
∴f′(x)=x -

a

x

又∵f（x）在x=2時(shí)取得極值，
∴f′(2)=2 -

a

2

=0，解得a=4
（2）∵f′(x)=x -

a

x

，（x＞0）
當(dāng)a＜0時(shí)，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a＜0時(shí)，（0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a=0，f（x）=

1

2

x²，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a=0時(shí)，[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（0，

a

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)a＜0時(shí)，（0，

a

）為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，（

a

，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）令g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
則g′（x）=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0
故在（1，+∞）上，g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx為增函數(shù)
即當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=

1

6

＞0
故當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定導(dǎo)函數(shù)的符號是解答此類問題的關(guān)鍵．