Question

已知直線l：x+y+8=0，圓O：x²+y²=36（O為原點(diǎn)），橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l₁與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使

OP

=

OA

+

OB

，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出O到直線l的距離，再由弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系式，即可求出a，即可得到橢圓方程；
（2）討論若l₁的斜率不存在，舍去，故設(shè)直線l₁：y=k（x-2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x 的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再求y₁+y₂，由條件

OP

=

OA

+

OB

，得到P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出k²，再由弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)．

解答： 解：（1）O到直線l的距離為d=

|0+0+8|

2

=4

2

，
則l被圓O截得的弦長(zhǎng)為2

r2-d2

=2

36-32

=4，
即2b=4，b=2．
又e=

c

a

=

2

2

，a²-c²=b²=4，解得c=2，a=2

2

，
故橢圓C的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）若l₁的斜率不存在，則將x=2代入橢圓方程得，y=±

2

，
由

OP

=

OA

+

OB

，得到P（4，0），顯然不在橢圓上，故若l₁的斜率存在．
令直線l₁：y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y得，（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-8

1+2k2

，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=-

4k

1+2k2

，
由

OP

=

OA

+

OB

，得P（

8k2

1+2k2

，-

4k

1+2k2

）
由P在橢圓上，得（

8k2

1+2k2

）²+2（

4k

1+2k2

）²=8，
解得k²=

1

2

，
則x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，
則|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 1 4

•

4+8

=

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理和向量的加法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．