Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)P（

2

，1）且離心率e=

2

2

．過定點(diǎn)C（-1，0）的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA•MB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題設(shè)條件和a，b和c的關(guān)系聯(lián)立方程求得a和b，進(jìn)而可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）．橢圓與直線方程聯(lián)立消元．根據(jù)韋達(dá)定理求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，根據(jù)題設(shè)中的向量的關(guān)系求得m，進(jìn)而得出M的坐標(biāo)；當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程為x=-1．進(jìn)而求得A和B的坐標(biāo)，求得m．最后綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)
由已知可得

a2=b2+c2 c a = 2 2 2 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=4，b²=2．
所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）．

y=k(x+1) x2+2y2-4=0

⇒(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0x1+x2=-

4k2

1+2k2

，
x1x2=

2k2-4

1+2k2

，
y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=-

3k2

1+2k2

MA

•

MB

=(x1-m，y1)(x2-m，y2)=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=

2k2-4

1+2k2

+

4mk2

1+2k2

+m2+

-3k2

1+2k2

=

(2m2+4m-1)k2+m2-4

1+2k2

=

1 2 (2m2+4m-1)(2k2+1)- 1 2 (2m2+4m-1)+m2-4

1+2k2

=

1

2

(2m2+4m-1)-

2m+ 7 2

1+2k2

∵

MA

•

MB

是與k無關(guān)的常數(shù)，
∴2m+

7

2

=0
∴m=-

7

4

，即M(-

7

4

，0)．
此時(shí)，

MA

•

MB

=-

15

16

．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程為x=-1．
此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-1，

6

2

)，(-1，-

6

2

)
當(dāng)m=-

7

4

時(shí)，亦有

MA

•

MB

=-

15

16

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(-

7

4

，0)，使

MA

•

MB

為常數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓的關(guān)系．當(dāng)解決直線與橢圓的關(guān)系時(shí)，常需要聯(lián)立方程進(jìn)行消元．