Question

16．已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=25，若動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 由兩圓的方程分別找出圓心M與N的坐標(biāo)，及兩圓的半徑r₁與r₂，設(shè)圓P的半徑為r，根據(jù)圓P與M外切，得到圓心距PM等于兩半徑相加，即PM=r+1，又圓P與N內(nèi)切，得到圓心距PN等于兩半徑相減，即PN=5-r，由PM+PN等于常數(shù)2a，MN等于常數(shù)2c，利用橢圓的基本性質(zhì)求出b的值，可得出圓心P在焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b的橢圓上，根據(jù)a與b的值寫(xiě)出此橢圓方程即可．

解答 解：由圓M：（x+1）²+y²=1和圓N：（x-1）²+y²=25，
得到M（-1，0），半徑r₁=1，N（1，0），半徑r₂=5，
設(shè)圓P的半徑為r，
∵圓P與M外切而又與N內(nèi)切，
∴PM=r+1，PN=5-r，
∴PM+PN=（r+1）+（5-r）=2a=6，又MN=2c=2，
∴a=3，c=1，
∴b=2$\sqrt{2}$，
∴圓心P在焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸為3，短半軸為2，$\sqrt{2}$的橢圓上，
則圓心P的軌跡方程為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$，
故答案為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的基本性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩圓的位置關(guān)系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關(guān)系來(lái)判斷，當(dāng)d＜R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時(shí)，兩圓外離．