Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得在（，）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）a＝－．（2）a＝2．

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）先求解導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)區(qū)間，，然后得到實(shí)數(shù)a的值。
（2）根據(jù)在區(qū)間上不增不見(jiàn)，因此說(shuō)明導(dǎo)數(shù)為零方程有解，分析可知參數(shù)a的值。
解 （1）∵在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）＝3x²＋2ax－2，   ……………………………………2分
f′（1）＝0，∴a＝－．……………………………6分
（2）令f′（x）＝3x²＋2ax－2＝0．………15分
∵a是正整數(shù)，∴a＝2．………………………16分