Question

方程f（x）的根稱為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a≠0），若已知函數(shù)y=3ax³+2bx²+cx的圖象如圖，且f（x₁）f（x₂）≤0，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．3

C．2 或 3

D．1 或 3

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3ax²+2bx+c，聯(lián)系函數(shù)y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的圖象可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的兩個(gè)零點(diǎn)是：x₁、x₂，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)分布在x軸的兩側(cè)（或者其中之一在x軸上）結(jié)合圖象可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=3ax²+2bx+c，
又函數(shù)y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的圖象如圖所示，
由圖可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的兩個(gè)零點(diǎn)是：x₁、x₂，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是：x₁、x₂，
又f（x₁）f（x₂）≤0，
說明函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)分居在x軸的兩側(cè)（或者其中之一在x軸上）
則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2或3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，三次函數(shù)的圖象，以及利用圖象解決問題的能力．