Question

下列命題中，真命題是

 

．
①?x∈R，使得sinx+cosx=2；
②?x∈（0，π）有sinx＞cosx；
③??∈R，使得f（x）=sin（ωx+?）為奇函數(shù)；
④?a∈（-1，0），有1+a2＜

1

1+a

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦型函數(shù)的值域，我們可以判定①的真假；根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們可以判斷②的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性，我們可以判斷③的真假；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，故①錯誤；
當(dāng)x∈（0，

π

4

]時，sinx≤cosx，故②錯誤；
當(dāng)φ=kπ，k∈Z時，f（x）=sin（ωx+φ）為奇函數(shù)，故③正確；
④當(dāng)a∈（-1，0）時，a（a²+a+1）＜0，即有a³+a²+a+1＜1，則1+a2＜

1

1+a

，故④正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的值域，正弦型函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，全稱命題和特特命題，如何判斷全（特）稱命題的真假，是解答本題的關(guān)鍵．