Question

已知f（x）=e^x-kx
①若k=e³求 f（x）的單調區(qū)間．
②若對任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，求k的取值范圍？
③若f（x）=0有兩相異實根，求k的取值范圍？

Answer 1

解：①∵f（x）=e^x-e³x，
∴f'（x）=e^x-e³
令f'（x）＞0則e^x-e³＞0，
得x＞3，
∴f（x）的單調増區(qū)間為[3，+∞），f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，3]．
②對任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，
即對任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，
即x≥0時，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．
當k≤1時，x≥0有f'（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
則f_min（x）=f（0）=1＞0滿足題意．
當k＞1時，令f′（x）=e^x-k=0，即e^x=k，
∴．∴
∴k-lnk＞0，即k＜e．
③若f（x）=0有兩相異實根，又f′（x）=0至多只有一解，
∴有y=f（x）的極小值存在且小于0，
即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，
∵k＞0，
∴1-lnk＜0，即lnk＞1，
∴．
分析：①由f（x）=e^x-e³x，知f'（x）=e^x-e³，令f'（x）＞0，得x＞3．由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
②對任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，即對任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，即x≥0時，f（x）_min＞0，又f′（x）=e^x-k．當k≤1時，x≥0有f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，則f_min（x）=f（0）=1＞0滿足題意．由此能夠求出k的取值范圍．
③若f（x）=0有兩相異實根，又f′（x）=0至多只有一解，所以有y=f（x）的極小值存在且小于0，即k＞0，且f（x）_min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，由此能求出k的取值范圍．
點評：本題考查f（x）的單調區(qū)間的求法和求實數k的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數在閉區(qū)間上求函數最值的應用，是歷年高考的重點題型．