Question

函數(shù)f（x）=log_ax在[2，+∞）上恒有|f（x）|＞1，則a取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)a＞1時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值為f（2）=log_a2＞0，再由|f（x）|＞1恒成立可得 log_a2＞1，求得a的范圍．當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，同理求得a的
范圍，綜合可得結(jié)論．

解答：解：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_ax在[2，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為f（2）=log_a2＞0，
由|f（x）|＞1恒成立可得 log_a2＞1，求得1＜a＜2．
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_ax在[2，+∞）上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為f（2）=log_a2＜0，
由|f（x）|＞1恒成立可得-log_a2＞1，即log_a2＜-1，求得

1

2

＜a＜1．
綜上可得，

1

2

＜a＜1或1＜a＜2，故所求的a的范圍是（

1

2

，1）∪（1，2），
故答案為 （

1

2

，1）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．