Question

定義：若函數(shù)f（x）對于其定義域內的某一數(shù)x₀，有 f （x₀）=x₀，則稱x₀是f （x）的一個不動點．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）當a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對任意的實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+

a

5a2-4a+1

對稱，求b的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）當a=1，b=-2時，有f （x）=x²-x-3，
令x²-x-3=x，化簡得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，或x₂=3
故所求的不動點為-1或3．（4分）

（Ⅱ）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1=0①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0，
故4a-4a²＞0，即0＜a＜1（8分）

（Ⅲ）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），則k_AB=1，∴k=-1，
所以y=-x+

a

5a2-4a+1

，（9分）
又AB的中點在該直線上，所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，
∴x₁+x₂=

a

5a2-4a+1

，
而x₁、x₂應是方程①的兩個根，所以x₁+x₂=-

b

a

，即-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，
∴b=-

a2

5a2-4a+1

（12分）
=-

1

( 1 a )2-4( 1 a )+5

=

1

( 1 a -2)2+1

∴當a=

1

2

∈（0，1）時，b_min=-1．（14分）