Question

已知f（x）=log

1

2

（x²-mx-m）．
（1）若m=0，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若f（x）的值域為R，求m的取值范圍；
（3）若f（x）在區(qū)間（-∞，1-

3

）上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）把m代入函數(shù)解析式，由對數(shù)式的真數(shù)大于0得答案；
（2）由真數(shù)可以取到大于0的所有數(shù)，則其判別式大于等于0，由此求解m的范圍；
（3）由符合函數(shù)的單調(diào)性可得，內(nèi)函數(shù)在（-∞，1-

3

）上是減函數(shù)，且在（-∞，1-

3

）上大于0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式組得答案．

解答： 解：（1）當m=0時，f（x）=log

1

2

x²，當x≠0時，x²＞0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）若f（x）的值域為R，則函數(shù)t=x²-mx-m能夠取到大于0的所有實數(shù)，
則（-m）²+4m≥0，解得m≤-4或m≥0．
∴m的取值范圍是（-∞，-4]∪[0，+∞）；
（3）若f（x）在區(qū)間（-∞，1-

3

）上是增函數(shù)，
即內(nèi)函數(shù)t=x²-mx-m在（-∞，1-

3

）上是減函數(shù)，
∴

m 2 ≥1- 3 (1- 3 )2-m(1- 3 )-m≥0

，解得：2-2

3

≤m≤2．
∴實數(shù)m的取值范圍是[2-2

3

，2]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．