Question

某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180m²，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且假定游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？

Answer 1

分析：先設(shè)分割大房間為x間，小房間為y間，收益為z元，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=200x+150y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=200x+150y過(guò)可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時(shí)，從而得到z值即可．

解答：解：設(shè)分割大房間為x間，小房間為y間，收益為z元
根據(jù)題意得：

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x，y∈N

⇒

6x+5y≤60 5x+3y≤40 x，y∈N

求：z=200x+150y的最大值．
作出約束條件表示的平面區(qū)域
把目標(biāo)函數(shù)z=200x+150y化為y=-

4

3

x+

z

150

平移直線，直線越往上移，z越大，
所以當(dāng)直線經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，z的值最大，
解方程組

6x+5y=60 5x+3y=40

得M(

20

7

，

60

7

)，
因?yàn)樽顑?yōu)解應(yīng)該是整數(shù)解，通過(guò)調(diào)整得，當(dāng)直線過(guò)M'（3，8）和M''（0，12）時(shí)z最大
所以當(dāng)大房間為3間，小房間為8間或大房間為0間，小房間為12間時(shí)，可獲最大的收益為1800元．

點(diǎn)評(píng)：在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．