Question

14．設(shè)向量$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），記向量$\overrightarrow{a}$=（x+m）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=（x-m）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=6，這里m為常數(shù)，且0＜m＜3，x≥0，y∈R．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)Q（1，0），求|PQ|的最大值和最小值；
（3）已知點(diǎn)A（-1，0），直線l：y=$\frac{1}{3}$（x-1）與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由已知得到$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}=6$，即點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（-m，0）與點(diǎn)（m，0）的距離之和為6，再由m的范圍可知點(diǎn)P的軌跡C是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，則橢圓方程可求；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式得到|PQ|，利用配方法求得最值；
（3）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$求得m值，驗(yàn)證判別式大于0得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=6，∴$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}=6$，
即點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（-m，0）與點(diǎn)（m，0）的距離之和為6．
設(shè)F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0），∴|F ₁F₂|=2m，|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|，
由橢圓定義知點(diǎn)P的軌跡C是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓．
∵2a=6，2c=2m，∴a=3，c=m，∴b²=a²-c²=9-m²，
∴所求軌跡C方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{9-{m}^{2}}=1$；
（2）m=2時(shí)，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
∵P（x，y），Q（1，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-2x+1+5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{4}{9}{x}^{2}-2x+6}$=$\sqrt{\frac{4}{9}（x-\frac{9}{4}）^{2}+\frac{15}{4}}$．
∵-3≤x≤3，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{4}$時(shí)，|PQ|有最小值為$\frac{\sqrt{15}}{2}$，當(dāng)x=-3時(shí)，|PQ|有最大值為4；
（3）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{9-{m}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（10-m²）x²-2x+9m²-80=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{10-{m}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-80}{10-{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AM}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}），\overrightarrow{AN}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=$\frac{8}{9}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{10}{9}（{x}_{1}{x}_{2}+1）$
=$\frac{8}{9}•\frac{2}{10-{m}^{2}}+\frac{10}{9}（\frac{9{m}^{2}-80}{10-{m}^{2}}+1）$=$\frac{26}{9}$．
解得：m²=$\frac{477}{53}$，即m=±$\sqrt{\frac{477}{53}}$．
驗(yàn)證此時(shí)滿足△＞0．
∴存在實(shí)數(shù)m=±$\sqrt{\frac{477}{53}}$，使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用向量求曲線的方程，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬中高檔題．