Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：≤T_n＜；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+++…+-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由a_n=+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n═2n²-n（n∈N^*）．
（2）證明：∵=，
∴T_n=++…+=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]=（1-）＜，
又易知T_n單調(diào)遞增，
故T_n≥T₁==，
所以≤T_n＜．
（3）解：由S_n=na_n-2n（n-1），得=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），
∴S₁+++…+-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²
=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2011，得n═1006，
即存在滿足條件的自然數(shù)n=1006．
分析：（1）利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到關(guān)于a_n與a_n-1的遞推式，據(jù)遞推式的特點(diǎn)可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，從而可得答案；
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求得T_n的表達(dá)式，由表達(dá)式的特點(diǎn)及其單調(diào)性可證；
（3）由（1）可表示出，進(jìn)而求得S₁+++…+-（n-1）²，令其等于2011，看關(guān)于正整數(shù)n的方程是否有解即可；
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的確定及數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列求和方法，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬難題，具有一定綜合性．